昨日まで大学入試センター試験を受けていた方、お疲れ様でした。かつてのセンター試験では、数学の試験でプログラミングの問題が出題されていた時期があり、そこでBASICが使われていたのは知る人ぞ知る話。プログラミングを知っている人だったら「余裕！」って人も多かっただろうが、現在は無くなってしまったようでちと残念。かつての『マイコンBASICマガジン』にも、試験問題の解説があったので、その中から１つ出題。

上のプログラムは、自然数Nを入力して、［ア］を小さい順にa(1)=、a(2)=、…と表示し、さらにそれらの和をS=と表示するものである。ただし、このプログラムにおいて、FLOOR(A)はAを超えない最大の整数を表す。［ア］に当てはまるものを、次の０～３のうちから一つ選べ。 ０　N以下の正の奇数で３の倍数であるもの １　N以下の正の奇数で３の倍数でないもの ２　N以下の正の偶数で３の倍数であるもの ３　N以下の正の偶数で３の倍数でないもの

（１）［イ］～［エ］に当てはまるものを、次の０～５のうちから一つずつ選び、プログラムを完成させよ。 ０ N　１ K　２ S　３ T　４ S+1　５ S+K （２）このプログラムを実行して、N として１０を入力すると、a(1)からa(［オ］)までとS=［カキ］が表示される。このとき、１５０行は［ク］回実行され、そのうち［ケ］回は１６０行の実行に進んだ。 （３）最初のプログラムで１４０行を IF FLOOR(K/2)<K/2 THEN GOTO @160 と変更したのち、Nとして１０を入力するとa (1)からa(［コ］)までとS=［サシ］が表示される。 （解説は明日辺り投稿します）

とりあえず解答だけ。 ［ア］１ ［イ］５ ［ウ］３ ［エ］１ ［オ］３ ［カキ］１３ ［ク］５ ［ケ］３ ［コ］９ ［サシ］４９ 解説がものすごく長くなってしまったんで、一旦推敲してから投稿します。 投稿しようと思ったら、文字数オーバーとかしょっちゅうだからなあ…。

大体推敲が終わったので、解説行きまーす。 ものすごく細かく分解して説明したつもりなので、やたら長くなってしまいましたが、かえって中途半端な説明になってしまったかも知れず。

「命令がいくつも並んでいて、どこから手を付ければ良いか分からない」という人もいると思うけど、この場合、「ここからここまで」と言うような、命令を実行する『くくり』を見つけていくのがポイント。 FOR～NEXTを見つけられたならば、そこがループという形の、１つのくくりとして考える事が出来る。 これは一般的なループの使い方で、１２０行のINPUT命令で、５を入れれば５回、１０を入れれば１０回繰り返す事になる。 １回目のループで、変数Kの中には自動的に１が、２回目には２が入るので、ループの中でKの値を調べれば、今何回目のループなのかが分かる。

１４０行と１５０行では、このK の値を使って何か判定を行っているっぽいが、まずは変数Nの中に、５みたいな少ない数を入れて、結果を紙か何かに書き出してシミュレートしてみよう。 K/2は、Kを２で割った値なので、Kに１から５までの数字が入った場合というのを考えてみる。 K=1の場合…1/2=0.5 K=2の場合…2/2=1 K=3の場合…3/2=1.5 K=4の場合…4/2=2 K=5の場合…5/2=2.5 このK/2をFLOOR関数でくくると、小数点以下の数が切り捨てられる。 K=1の場合…FLOOR(1/2=0.5)=0 K=2の場合…FLOOR(2/2=1)=1 K=3の場合…FLOOR(3/2=1.5)=1 K=4の場合…FLOOR(4/2=2)=2 K=5の場合…FLOOR(5/2=2.5)=2

これを最初のK/2の結果と比べてみると…。 K=1の場合…0=0.5…× K=2の場合…1=1…○ K=3の場合…1=1.5…× K=4の場合…2=2…○ K=5の場合…2=2.5…× Kが２の時と４の時だけ、小数点以下の数字が出ない（２で割って余りが出ない）為、条件が合致している。２で割って余りが出ないという事は、この数字が奇数か偶数かどうかの判定を行っている事になる。 Kが偶数の時は１９０行に飛ぶという処理を行っており、その飛び先には『NEXT K』…つまり、ループの末端があり、Kの値を１つ増やした上で、再びループの先頭に戻る。 この事から、『Kが偶数の時は何の処理もしない』、言い換えれば『Kが奇数の時は何らかの処理を行う』という事が推測できる。

K/3の方も、同じようにシミュレートしてみよう。 K=1の場合…1/3=0.333… K=2の場合…2/3=0.666… K=3の場合…3/3=1 K=4の場合…4/3=1.333… K=5の場合…5/3=1.666… これも、同じ計算結果をFLOOR関数でくくったものと比較しているので、Kが３の場合だけ条件が合致するという事は分かると思う。

この時点で、「さっきは２で割り切れる数だったんだから、今度は３で割り切れる数？」って思った人は鋭い。ただ、それでも不安だと思う人の為に、もう少し数を増やしてみようと思う。 K=6の場合…6/3=2 K=7の場合…7/3=2.333… K=8の場合…8/3=2.666… K=9の場合…9/3=3 K=10の場合…10/3=3.333… これだけデータが揃えば、３の倍数であるという事はほぼ間違いないだろう。上と同様に、『Kが３の倍数の時は何の処理もしない』、言い換えれば『Kが３の倍数でない時は何らかの処理を行う』という事が推測できる。

これらを踏まえた上で、この２つを組み合わせた場合、どのような動きをするか考えてみよう。 まず、１４０行で処理が飛ばされた時点で、１５０行以降の処理は行われない。つまり、Kが偶数だったら、無条件で処理を行う条件から外される事になる。 K=1の場合…次へ進む K=2の場合…処理を飛ばす K=3の場合…次へ進む K=4の場合…処理を飛ばす K=5の場合…次へ進む K=6の場合…処理を飛ばす K=7の場合…次へ進む K=8の場合…処理を飛ばす K=9の場合…次へ進む K=10の場合…処理を飛ばす

残るは奇数の場合で、そこから更に３の倍数が、処理を行う条件から外される事になる。 K=1の場合…次へ進む K=3の場合…処理を飛ばす K=5の場合…次へ進む K=7の場合…次へ進む K=9の場合…処理を飛ばす この時点で、『奇数、かつ３の倍数でないもの』が残るので、［ア］は１が正解となる。 このような法則性さえつかめれば、たとえその後に大きな数（１００みたいな）を入れた場合のケースが出され ても、そこから簡単に処理結果を導き出す事が出来る。

次の１６０行は…ちょっと何をやっているのか分からないので後回しにして、次の１７０行を見てみよう。 このSという変数、ここ以外にどこで使われているか見てみると、２００行でその中身を表示している。２００行は、NEXT Kの次…つまり、ループの外側にあるので、ループを指定した回数だけ繰り返した後に実行される命令だという事になる。 問題文には、『さらにそれらの和をS=と表示するものである。』とあり、そのSを使っているのはここだけなので、その和をここで求めれるのが適当だろう。さっきの条件判定で、K=1、5、7が残ったので、合計１３になれば良いはず。 １つ問題なのは、Kの値は毎回変わってしまうのに、それを保存する変数が見当たらない事。どうやってこれを計算すれば良いか？

変数というのは、『常に変わりつつある数』を保存しておくのに便利な物であって、Kが変わる毎に、その値を保存出来れば、最後にまとめて計算が出来る。ただ、ループの回数が分からない以上、Kの中身を保存しておく為の変数を無造作に用意するという訳にも行かない（１個で十分なケースもあれば、１００個あっても足りないケースもある）。 問題文を見る限りでは、最終的な和が求められれば良いので、Kの値を個別に保存しなくても、ループの途中で計算していけば良い、という事になる。例えば、最初にSに０が入っている状態で、PRINT S+1と入力すると、(0+1=)1が表示され、５が入っているならば、(5+1=)6が表示される。そして、この計算結果をそのままSに入れ直す事で、Sに計算結果を『足し込んでいく』事が可能になる。 １００行にS=0という命令があるのはその前フリで、ここからどんどんKの値を足し込んでいけば良いのだ。

K=1の場合…Sには０が入っているので、それに１を足した結果（１）をSに入れる K=5の場合…Sには１が入っているので、それに５を足した結果（６）をSに入れる K=7の場合…Sには６が入っているので、それに７を足した結果（１３）をSに入れる Sに値を入れる為には、まず『S=』と書き、その後に入れたい数字や変数、あるいはそれらを合わせた計算式を書く。 ここではSとKを足した結果を入れたいので、『S=S+K』と書けば、Kをどんどん足し込んでいってくれる。従って、［イ］は５のS+Kが正解となる。

１８０行で、その『奇数、かつ３の倍数でないもの』を逐次表示していく事になるが、問題文を見ると、『a(1)=、a(2)=、…』というような形式で表示しなければならない事になっている。 この文が実行される条件は、K=1、5、7なので、イコールの右側は、そのままKの値を表示すれば良いが、問題はカッコの中の数字は何を表示すれば良いか。 K=1、5、7なのに対して、こっちは1、2、3…という、Kとはまた別の数字になっている。ここに表示されるべきなのは、何回目の『奇数、かつ３の倍数でないもの』なのかという事になる。 さっきまで放置していた１６０行目では、この処理を行う毎にTの値が１つずつ加算されている。これを利用すれば、何回目という表示を行う事が出来る。従って、［ウ］は３のT、［エ］は１のKが正解となる。

これで処理の全貌がつかめた上、既に処理結果も出ているので、（２）の問題はすぐに解けるだろう。 ［オ］はK=1、5、7の３（回）、［カキ］は1+5+7の１３、［ク］はK=1、3、5、7、9の５（回）、［ケ］はK=1、5、7の３（回）が正解となる。

これまで１４０行は、『Kが偶数だったら処理を飛ばす』という処理を行っていたのだが、（３）の問題でちょっと処理条件が変更になる。 K/2を計算するのと、それをFLOOR関数でくくる所までは同じなのだが、それを比較する時の条件が、イコールではなく、『<』に変わっている。なので、この条件判定からシミュレートしてみよう。 K=1の場合…0<0.5…○ K=2の場合…1<1…× K=3の場合…1<1.5…○ K=4の場合…2<2…× K=5の場合…2<2.5…○ K=6の場合…3<3…× K=7の場合…3<3.5…○ K=8の場合…4<4…× K=9の場合…4<4.5…○ K=10の場合…5<5…×

さっきまでは偶数だったら処理を飛ばす対象になっていたのに対し、今度は奇数が処理を飛ばす対象になっている。 そしてもう１つ注目すべきなのは、その飛ばす先が、１９０行ではなく、１６０行に書き換えられているという点。１６０行から先は、処理を行う対象だった場合に進むべき所なので、つまり、『Kが奇数だったら、後は無条件で処理を行う』という風に処理が変更された事になる。 さっきまでは、『Kが奇数だったら、その次の３の倍数の判定処理に進む』だったのが、３の倍数の判定を行わなくなった事により、『奇数、かつ３の倍数』も処理の対象になった事がポイント。

残った偶数は、１４０行の条件が変わってしまったので、１５０行をシミュレートしなおす必要がある。 K=2の場合…次へ進む K=4の場合…次へ進む K=6の場合…処理を飛ばす K=8の場合…次へ進む K=10の場合…次へ進む この２つの条件を組み合わせると、『Kが奇数の場合、または３の倍数でない場合』が、処理が行われる新しい条件となる。 ここで、この条件に合う値を見てみると、K=1、3、5、7、9と、2、4、8、10の９個が対象となるので、［コ］は９、［サシ］はこれらを合計した４９が正解となる。