無限級数で定義しなければならない理由は http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~kawanaka/sinx.pdf とかにあります。 (1) sin の定義には radian が必要だけど、 (2) radian の定義には「円弧の長さ」が必要だよね? (3) で「円弧の長さ」って sin が必要だよね?? という堂々巡りに陥るのを避けるためだそうです。